על ג'לטין ומי תהום
שבוע שעבר לא כתבתי פוסט בגלל מחסור בזמן, והאמת שגם השבוע כמעט ולא כתבתי. אבל נזכרתי שהחלק הכי קשה בלסגל הרגלים הוא להתמיד בהם, ולא רק להתחיל. אז אני מכריח את עצמי לשבת ולהשקיע את הזמן – בסוף זה ישתלם!
השבוע אני עובד על הרצאה לקורס שאני נבחן בו בקרוב, על “מכניקה סטטיסטית של פולימרים”. זה ההמשך הטבעי של הקורס “ מכניקה סטטיסטית 2” שבו נבחנתי לפני שבועיים (אני נוטה לבחור קורסים לפי נושאים, כדי שישתלבו יפה ביחד).
בזמן שעבדתי על ההרצאה, חשבתי שזה יכול להיות אחלה פוסט, וזו התוצאה. תהנו :)
הקדמה: מכניקה סטטיסטית ומעברי פאזה
למעשה כתבתי כבר פוסט על מכניקה סטטיסטית, אבל עדיין לא הספקתי להעביר אותו לפורמט החדש של קרם.תוות.ים. לכן אסכם אותו בקצרה, עם כמה אנקדוטות שחשובות עבורי במיוחד:
מכניקה סטטיסטית הוא התחום בפיזיקה שעוסק במערכת מרובות חלקיקים, כאשר חלקיקים יכולים להיות כל דבר – אטומים, מולקולות, נמלים, בני אדם, פוטונים, מערבולות באוקיינוס, ועוד.
פיזיקאיםות יכולים לחקור את כל התחומים הללו תחת תחום אחד, בדיוק בזכות העובדה שיש בהן הרבה חלקיקים – ריבוי החלקיקים “מחליק” תופעות מסובכות, ומשאיר רק את הממוצע, שאותו יחסית קל להבין ולנתח.
אחת התופעות החשובות בתחום המכניקה הסטטיסטית הוא משהו שכולכם מכירים: מצבי צבירה! אנחנו יודעים לתאר בצורה מאוד טובה בדיוק איך וכמה מים רותחים, קרח נמס, ומגוון תופעות נוספות שכולן נכנסות בקטגוריה של מעברי מצב צבירה, או מעברי פאזה (כפי שאנחנו אוהבים לקרוא להם).
באמצע המאה ה-20 פיזיקאיםות שמו לב לכך שניתן לסווג מעברי פאזה לקטגוריות, הנקבעות לפי אוסף פרמטרים הנקרא “אקספוננטים קריטיים” – פרמטרים של המעבר שמאפיינים אותו בצורה עמוקה מאוד. זה נושא לפוסט אחר, ודי להגיד שהאקספוננטים הקריטיים הם חלק אינטגרלי בהבנה המודרנית של מעברי פאזה. אני אסתמך עליהם הרבה בהמשך בפוסט.
מה הקשר בין מי תהום למכניקה סטטיסטית?
שם הפוסט הוא “על ג'לטין ומי תהום”. על ג'לטין נדבר מאוחר יותר, אבל אני רוצה להתחיל עם מי תהום.
בעקבות העלייה בחשיבות של הנפט בחיינו עם עליית המכונית, גאולוגיםות, פיזיקאיםות ומהנדסיםות שילבו כוחות לאורך המאה ה-20 במטרה להבין תופעה שכולכם מכירים: חלחול, ובאופן כללי התנהגות של זורמים דרך חומר מחורר או ספוגי.
אתם יכולים לנחש מדוע זה היה חשוב, אם תחשבו על כך שגם נפט הוא למעשה זורם שמחלחל באדמה.
הפיזיקאיםות, כדרכםן, החליטו לגשת לבעיה מאפס, ובנו מודל מתמטי לחלחול, בהתבסס על מדע המכניקה הסטטיסטית שבדיוק היה בשיאו:
דמיינו שאנו מחלקים את האדמה לתאים חלולים וביניהם צינורות. כל צינור יכול להיות פתוח בסיכוי p, או סגור בסיכוי 1-p. זה מודל מופשט של האדמה המחוררת שדרכה עוברים המים מלמעלה למטה, או מצד אחד לצד שני.
כאשר משחקים עם הפרמטר p, מגלים תופעה מעניינת: כאשר מגדילים את הסיכוי לצינור פתוח מעל ערך קריטי, נפתחים מספיק צינורות כדי לאפשר למים לעבור מצד אחד לצד שני. אבל מתחת לערך הזה, המים לא יכולים לעבור בכלל, ונתקעים ממש בתחילת הדגימה.
זה שינוי לא רציף במאפיינים של החומר, ולזה אנחנו קוראים “ מעבר פאזה”! החלקיקים במקרה הזה אנלוגיים לצינורות, והמעבר בין קרח למים אנלוגי למעבר בין חומר אטום לחלול.
למודל הזה קוראים “פרקולציה” באנגלית, שפשוט מתורגם ל”חלחול” בעברית. אם אתם רוצים לראות בעיניים על מה אני מדבר, אני ממליץ מאוד על הסרטון הבא של סימולציה של המודל: https://www.youtube.com/watch?v=agSrT-FFyOg
רגע, אבל אמרת ג'לטין!
נכון, בכותרת מופיעה גם המילה ג'לטין, ויש לזה סיבה טובה.
במקביל (וקצת לפני) התפתחות מדע הפרקולציה, פיזיקאיםות וכימאיםות ניסו להבין תופעה שונה לחלוטין: מעבר הפאזה מתמיסה נוזלית לג'לי יציב.
בשנת 1941, ומאוחר יותר ב-1944, המדענים פלורי וסטוקמאייר (Flory & Stockmayer) פיתחו מודל פשוט, על בסיס מכניקה סטטיסטית, במטרה לתאר את המעבר הזה.
המודל שלהם הצליח לחזות מספר רב של פרמטרים על מעבר הפאזה, אבל הוא נכשל מבחינה מהותית אחת – המודל חזה ערכים לא נכונים עבור האקספוננטים הקריטיים.
במשך כמה עשרות שנים התחום קפא, כשאנשים ניסו ונכשלו לשפר את המודל של פלורי וסטוקמאייר, עד שהגיע מדע הפרקולציה.
א.נשים חכמיםות (לצערי לא הצלחתי לברר מי) שמו לב שהמודל של פלורי וסטוקמאייר שקול ל-“פיתרון שדה ממוצע” של בעיית פרקולציה סטנדרטית. שדה ממוצע גם הוא נושא לפוסט אחר, ואסכם בכך שהוא שיטה לקירוב מערכות מסובכות למערכות פשוטות, והוא לא תמיד עובד.
מכאן, השלב הבא היה פשוט – במקום להשתמש בשדה ממוצע, נבדוק האם הפיתרון המדויק והמלא של בעיית הפרקולציה מסוגל לחזות את האקספוננטים הקריטיים של מעבר תמיסה-ג'ל.
הפלא ופלא – הגישה הזו פעלה נהדר! כל האקספוננטים הקריטיים (לפחות, אלה שאני הצלחתי למצוא בספרות) מתאימים בצורה מושלמת לנתונים הניסוניים, וקיבלנו מודל טוב עבור מעבר פאזה שהשאיר פיזיקאיםות אובדי עצות לכמה עשרות שנים.
המכנה המשותף
נותרה עכשיו רק שאלה אחת – למה בעצם יש דימיון בין מעבר תמיסה-ג'לטין לבין בעיית פרקולציה?
ובכן, זה פשוט באופן מפתיע: דמיינו את התמיסה לפני המעבר בתור מלא תאי ג'ל קטנים המרחפים להם בתמיסה. כאשר מתחיל התהליך, התאים מתחילים להתחבר אחד לשני, עד לנקודה קריטית שבה מספיק חיבורים נוצרים כדי להתייחס לתמיסה בתור ג'ל.
אם תחליפו את תאים הג'ל באדמה, ואת החיבורים בנוצרים בצינורות של פרקולציה (שיכולים להיות פתוחים או חסומים), תקבלו בדיוק את אותו המודל! רק שבמקום להזרים מים מצד אחד לשני, אנחנו בודקים מתי נוצר גוש חיבורים משותף לכל הדגימה שלנו.
ולסיום: אנקדוטה גיאופוליטית
את רוב המידע לפוסט הזה לקחתי מספר של מוחמד סחימי, מהנדס כימי שיושב בכיסא שמומן ע”י חברת הנפט האיראנית הממשלתית, וכותב רבות במטרה לשכנע את העולם שהתעשייה הגרעינית האיראנית היא למטרות שלום.
עם חלק ממה שהוא אומר אני מסכים, ועם לא מעט אני לא. אבל בכל מקרה בעיני חשוב לזכור את הקשרים שיש למדע גם עם חלקים פחות כיפיים בעולם, ושהוא לא יכול להתקיים בוואקום.
נהניתם? איזה כיף! אם יש לכם שאלות, אתם יכולים למצוא אותי כאן: @yoavzack@pirsamti.com ולא כאן: yoavzack.com (הכניסה באחריותכם בלבד)