בעקבות בקשת הקהל, החלטתי לכתוב פוסט מקוצר על פורייה. אני בהחלט לא הראשון לכתוב עליו, ואני מאוד מאוד ממליץ על הסרטון הבא וגם על זה, אם אתן מעדיפות תמונות על טקסט.
ההסבר שלי יהיה מעמיק הרבה פחות ברמה המתמטית, וגם קצר יותר. אני לא מתכנן להסביר לכם את כל המתמטיקה העמוקה שמאחורי טור וטרנספורם פורייה, אלא לתת לכן הבנה עמוקה של איך ולמה הטריק המשוגע הזה פועל, ולמה בעצם הוא מעניין אותנו.
פורייה: האיש
ז'אן-בטיסט ז'וזף פורייה היה מתמטיקאי ופיזיקאי שעבד (בין היתר) בצבא הצרפתי כאחד מיועציו של נפוליאון. הוא נולד ב-1768 לחייט ממעמד בינוני-נמוך, ונהיה יתום בגיל 9. באמצעות הגיוס לצבא הצליח להתקבל ללימודי מתמטיקה, והחליף את לג'נדר (אחד מגדולי המתמטיקאים הצרפתים) בתפקידו ב”אקול פוליטקניק”, בית הספר הסמי-צבאי היוקרתי ביותר להנדסה בצרפת.
רשימת התרומות המדעיות שלו מרגישה קטנה ביחס למדענים גדולים אחרים בהיסטוריה, אבל כל פסוק בה הוא מהפכני: טור וטרנספורם פורייה, מודל פורייה להולכת חום, אפקט החממה (כן, הרעיון הזה עד כדי כך ותיק!), ושיטת אנליזת היחידות, שעליה הספקתי לכתוב כבר.
היום נדבר על טור וטרנספורם פורייה, אבל אני מבטיח שגם על השאר נדבר בהזדמנות.
פורייה: הטור
כדי להסביר מה פורייה עשה, אני אצטרך להסתמך על כמה עובדות שאין לי זמן או מקום לנמק כאן. אלה יכולים להיות נושאים לפוסטים עתידיים, אבל בינתיים, קחו אותן כמו שהן:
- הרבה בעיות פיזיקליות ניתן לנסח בעזרת סוג מסוים של משוואות שנקרא “משוואה דיפרנציאלית חלקית”. שם ארוך ומפחיד, ובצדק – אלה לרוב משוואות ארוכות ומפחידות, שקשה לפתור. לדוגמא, כדי לתאר את הצורה שבה חום מתפשט דרך חומר, יש משוואה דיפרנציאלית חלקית, שמסוגלת להראות כיצד התפלגות ראשונית של חום/קור נעה דרך החומר. זוהי “משוואת החום” שפיתח פורייה, והיא המוטיבציה לנושא הפוסט הזה.
- אמנם המשוואות האלה קשות, אבל פורייה שם לב למשהו מעניין: עבור התפלגות חום “גלית”, הפיתרון של המשוואה הוא מאוד קל. גלים כאלה מתוארים ע”י פונקציית סינוס או קוסינוס, שאתן אולי עוד זוכרות משיעורי מתמטיקה בתיכון.
- אם התפלגות החום הראשונית שלנו היא סכום של שני גלים, אפשר להפריד את הפיתרון של המשוואה לסכום שני הפתרונות: אחד לכל גל. זה עובד עבור כמה גלים שרוצים, ולכן כל מצב שמתחיל מסכום של גלים הוא מצב שמאוד קל לפתור.
בעזרת 3 העובדות האלה, פורייה ביצע מהפכה במדע, ואיפשר שיטה חדשה ועוצמתית במיוחד לפיתרון בעיות פיזיקליות. ההברקה של פורייה הייתה לשים לב שכל פונקציה ניתן לייצג כסכום של גלים. לכן, ניתן לפתור את תנועת החום עבור כל התפלגות התחלתית באמצעות פירוק של ההתפלגות לסכום של גלים, לפתור עבור כל גל, ואז לחבר מחדש את הפתרונות כדי לקבל את ההתנהגות הכוללת.
איזה מן קסם שחור זה, לפרק כל פונקציה לסכום של גלים? ובכן, קצת שיקרתי: לא כל פונקציה. לצורך הפוסט שלנו, אפשר לעשות את זה לכל הפונקציות שמוגדרות על “תחום” סופי, כלומר המוט שעליו אנחנו מודדים את הטמפרטורה חייב להיות באורך סופי. סה”כ זו הנחה סבירה, ואמנם פורמלית היא לא מספיקה, אבל היא תספיק לצרכים שלנו.
כשאנחנו מפרקים פונקציה כזו לסכום של גלים, נהוג לנסח את הפירוק בצורה הבאה: כל פונקציה מתפרקת לסכום של כל הגלים האפשריים, ולכל גל יש “עוצמה” מסויימת בפונקציה. לאוסף העוצמות של כל גל אנחנו נקרא “מקדמי פורייה” של הפונקציה, ולאסוף הגלים נקרא טור פורייה.
שימו לב ל-2 נקודות חשובות:
1.שימו לב שאפשר לחשוב על כל פונקציה מחזורית כאילו היא פונקציה על טווח סופי, כי בעצם אין משמעות לכל החזרות שלה – כולן נקבעות לפי האחת המרכזי. לכן, גם כל פונקציה מחזורית אפשר לתאר באמצעות טור פורייה.
2. “גל אפשרי” שתיארתי קודם הוא גל שחוזר על עצמו כמות שלמה של פעמים בין ההתחלה לסוף התחום שבו אנחנו עובדים. גם זה קצת לא נכון, כי זה תלוי בצורת הבעיה שאנחנו פותרים (מה שנקרא “תנאי שפה”), אבל עבור רוב המקרים אלה הגלים הרלוונטיים.
בואו נסתכל על דוגמא. נניח ואתם רוצים לפרק גל מרובע לטור פורייה. התהליך יראה משהו כמו הגיף הבא (מוזמנים ללחוץ על הלוגו בפינה הימנית התחתונה כדי להכנס לקוד המלא, עם דוגמא נוספת של גל משולש):
במקרה הזה, הפונקציה המקורית מסומנת באדום, הגלים הירוקים הדקים הם אוסף הגלים שמתאר את הפונקציה, ובכחול זה סכום הגלים. ניתן לראות שככל שמוסיפים יותר ויותר גלים לסכום, מקבלים (בכחול) צורה שדומה יותר ויותר לפונקציה האדומה המקורית. ניתן גם לראות שכל הגלים הם “גלים אפשריים” שתיארתי קודם, כלומר הם מתאפסים בקצוות הטווח שלנו, וחוזרים על עצמם מספר שלם של פעמים בתוכו.
יש אלגוריתם מתמטי מדויק לחישוב העוצמה של כל גל, ולא צריך סתם לנחש אותם. אולי בעתיד גם אכתוב עליו, אבל זו לא המטרה שלנו היום.
פורייה: הטרנספורמציה
אני חושב שמה שדיברנו עליו עד עכשיו היה קצת באוויר, עם מוטות מתכת וטמפרטורה מוזרה. כדי לחבר את הנושא קצת למציאות, בואו נדבר על משהו שכולכם מכירים: מוזיקה!
אחרי שפורייה פיתח את שיטת הקירוב שקרויה על שמו, הוא פיתח הרחבה שלה, שנקראת “טרנספורם פורייה”, שהיא כלי מרכזי בתעשיית המוזיקה היום, וגם, כמובן, בפיזיקה המודרנית.
זוכרים שקודם אמרתי שאפשר לקרב רק פונקציות על טווח סופי בעזרת טור פורייה? ובכן, טרנספורם פורייה הוא ההרחבה של השיטה הזו עבור פונקציות באורך אינסופי. כדי להציג פונקציה כזו כסכום של גלים, אנחנו צריכים יותר גלים. הרבה יותר גלים. למעשה, גם אם קודם היינו צריכים אינסוף גלים, הפעם אנחנו צריכים יותר אינסוף.
במקום אוסף בדיד של גלים, אנחנו לוקחים רצף של גלים. לכל גל יש תדירות משלו, ואנחנו לוקחים גלים עם כל התדירויות האפשריות, כלומר כל המספרים הממשיים. בהתאמה, במקום אוסף בדיד של מקדמים, יש לנו עכשיו רצף של מקדמים, אחד מתאים לכל תדירות.
קיבלנו עכשיו רצף של מקדמים כשכל אחד מתאים לתדירות משלו, ודבר כזה אפשר לשרטט על גרף. למעשה, מה שקיבלנו הוא פונקציה חדשה: קשר בין כל תדירות לבין מקדם המתאים ב”טרנספורם פורייה” של הפונקציה המקורית.
למה הדבר הזה שימושי? ובכן, אמרתי מוזיקה, ואדבר על מוזיקה. נניח ויש לכם הקלטה כלשהי, ויש רעש ברקע שאתם רוצים להוריד. איך אתם עושים דבר כזה? אם הייתה לכם דרך להפריד בין הצלילים השונים שיש בהקלטה לפי התדירות שלהם, הייתם יכולים לבודד את התדירות של הרעשים, ולמחוק רק אותם, מבלי לפגוע בהקלטה עצמה.
רגע אחד, הפרדה לפי תדירויות? בדיוק על זה דיברנו כל הפוסט! כאשר מוזיקאים רוצים לעבוד עם סאונד, הם עושים טרנספורם פורייה להקלטה, וכך מסוגלים להפריד בין כל מקורות האודיו השונים בהקלטה, למחוק רעשים, וכו'. הרבה יותר קל לעבוד עם אודיו במרחב התדירויות מאשר במרחב הרגיל שלנו.
ולמיטיבי לכת, או פשוט מוזיקאים מנוסים: למעשה, מה שמוזיקאים עושים הוא לא טרנספורם פורייה פשוט. נניח, מה אם יש רעש שנפסק באמצע ההקלטה, או משנה את התדירות שלו באמצע? כדי לקבל פירוק תדירויות נוח, שמוזיקאים ופיזיקאים קוראים לו “ספקטרוגרמה”, ניתן לבצע טרנספורם פורייה על חלקים קצרים מההקלטה ב-“גושים”, וכך לקבל את התדירויות שמרכיבות כל שנייה ורגע בהקלטה בנפרד, ולנקות אותם בצורה הרבה יותר מדוייקת.
כל מה שתיארתי כאן הוא רק קצה המזלג של התחום ענק שנקרא אנליזת פורייה. לא הסברתי שפירוק פורייה הוא בסיס למרחב הפונקציות, וגם לא את השיטה לחישוב המקדמים. לא הסברתי איך בעצם עושים טרנספורם פורייה עבור הקלטת קול, שהיא בעצם לא פונקציה רציפה אלא אוסף נקודות סופי. לא תיארתי איך מתחשבים בתנאי שפה, ואפילו לא התקרבתי לדבר על כך שפורייה זה מקרה פרטי ופשוט של בערך המון שיטות מתמטיות שונות, כמו פירוק אדוות (wavelet) או טרנספורמים אינטגרליים. ושלא נתחיל לדבר על טרנספורם פורייה במכניקת הקוונטים ובתורת שדות מודרנית, שם כל השפה היא פורייה.
הכלי הזה, שפורייה גילה כמעט במקרה, התגלה כאחד הכלים החזקים ביותר בארסנל הפיזיקלי, ואנחנו עוד נחזור אליו לא מעט בעתיד.
לאור המצב הבטחוני ובהמשך להודעות לגבי הפגנות המחאה הכלליות מחר, שימו לב לעדכונים בהפגנות נגד הכיבוש ונגד המלחמה:
